严格凸开台球中由焦散线构成的无穷多叶状结构

严格凸有界平面台球中的反射作用于有向直线空间并保留一个标准面积形式。焦散线是一条曲线 $C$，其切线经台球反射后变为与 $C$ 相切的直线。著名的 Birkhoff 猜想指出，唯一在边界附近具有由闭焦散线构成的叶状结构的严格凸台球是椭圆。由 Lazutkin 定理，总存在一个逼近边界的闭焦散线 Cantor 族。本文研究一个开台球，其边界是一条严格凸嵌入（非闭）曲线 $\gamma$。我们证明存在一个与 $\gamma$ 凸侧相邻的域 $U$，以及 $U\cup\gamma$ 的一个 $C^\infty$ 光滑叶状结构，其叶为 $\gamma$ 和台球的（非闭）焦散线。这推广了 R.Melrose 先前的结果，该结果给出了在上述边界点处叶状结构芽的存在性。我们证明存在一族由焦散线构成的上述叶状结构，其在 $\gamma$ 中每点处的芽两两不同。我们证明了该命题在 $\gamma$ 仅为一段弧、以及 $\gamma$ 和焦散线均为浸入曲线时的更一般版本。它也适用于由闭严格凸曲线 $\gamma$ 围成的台球，并给出由浸入焦散线构成的无穷多个“浸入”叶状结构。为证明上述结果，我们陈述并证明了它们对于一类保持面积的映射的类似结论，该类映射推广了台球反射：即所谓的 $C^{\infty}$-提升强类台球映射。我们还证明了一系列关于上述类型开曲线附近台球映射共轭性的结果。