关于具有 Poritsky 性质的曲线

对于给定的具有光滑边界的闭凸平面曲线 $\gamma$ 与给定的 $p>0$，弦构造给出一族嵌套台球 $\Gamma_p$，其中 $\gamma$ 是一条焦散线。相应反射 $T_p$ 在 $\gamma$ 的切线上作用，诱导出它们在切点的作用：一族弦微分同胚 $\mathcal T_p:\gamma\to\gamma$。若 $\gamma$ 容许一个参数 $t$（称为 Poritsky 弦长），使得所有小 $p$ 的变换 $\mathcal T_p$ 都是平移 $t\mapsto t+c_p$，则称 $\gamma$ 具有弦 Poritsky 性质。这些定义对曲线芽 $\gamma$ 也有意义。Poritsky 性质与著名的 Birkhoff 猜想密切相关。经典已知每条二次曲线都具有弦 Poritsky 性质。1950 年 H.Poritsky 证明了其逆：每条具有 Poritsky 性质的平面曲线芽都是二次曲线。在本文中，我们将此 Poritsky 结果推广到常曲率黎曼度量下单连通完备曲面上的曲线芽，以及所有这些曲面上的外台球。对于任意二维黎曼度量曲面上具有 Poritsky 性质的曲线一般情形，我们证明以下两个结果：1) Poritsky 弦长与 V.F.Lazutkin 于 1973 年引入的 Lazutkin 参数相差加性与乘性常数；2) 具有 Poritsky 性质的 $C^5$ 光滑曲线芽由其 4 阶 jet 唯一确定。在欧氏情形中，后一命题由上所述的 Poritsky 结果推出。