中心对称台球桌的 Birkhoff-Poritsky 猜想

本文证明了中心对称 $C^2$ 光滑凸平面台球的 Birkhoff-Poritsky 猜想。我们假设由 $4$-周期轨道的不变曲线与相柱面边界之间的区域 $\mathcal A$ 被 $C^0$ 不变曲线所叶状化。在此假设下我们证明台球曲线为椭圆。对于原始的 Birkhoff-Poritsky 表述，我们证明若台球域边界的一个邻域具有由旋转数在区间 (0; 1/4] 内的凸焦散线构成的 $C^1$ 光滑叶状结构，则边界曲线为椭圆。用首次积分的语言可以断言：{若中心对称 $C^2$ 光滑凸曲线 $\gamma$ 内的台球容许一个在 $\mathcal A$ 上梯度非零的 $C^1$ 光滑首次积分，则曲线 $\gamma$ 为椭圆。} 证明的主要要素为：(1) 在 \cite{BM}、\cite{B} 中发现的凸台球的非标准生成函数；(2) 由 $4$-周期轨道构成的不变曲线的卓越结构；以及 (3) 在 B0、B1 中为圆台球刚性结果所开创的积分几何方法。出人意料地，我们建立了椭圆台球中的 Hopf 型刚性。