高维常曲率空间中交换台球问题

我们考虑 $\mathbb R^d$（$d\geq3$）中两个具有 $C^2$ 光滑严格凸边界的嵌套台球。我们证明，如果它们在有向直线空间上由反射给出的相应作用可交换，则这两个台球为共焦椭球。结合作者此前在二维情形下的类似结果，这完全解决了由 Sergei Tabachnikov 提出的交换台球猜想。主要结果由 Marcel Berger 的经典定理推得：该定理指出在高维中仅有二次曲面可能具有焦散线。我们还证明了 Berger 定理及主要结果在常曲率空间（即空间形式）中台球情形的相应版本。