扰动椭圆台球中共振焦散面的非持久性

焦散面是一类曲线，具有如下性质：一条台球轨迹一旦与之相切，则在台球桌边界每次反射后仍保持相切。当台球桌为椭圆时，任何非奇异的台球轨迹都有一个焦散面，该焦散面可以是共焦椭圆或共焦双曲线。共振焦散面——即其相切轨迹为闭合多边形的焦散面——在台球桌的一般扰动下会被破坏。我们证明，在原椭圆的一大类显式扰动下，没有一个共振椭圆焦散面能够持久存在。这一结果源于标准的 Melnikov 论证以及对某些椭圆函数复奇点的分析。