论凸台球的共轭性

给定一个严格凸区域$\Omega$在$\R^2$中，存在一种自然的方式在其中定义台球映射：一条直线路径在击中边界时反射，使得反射角等于入射角。本文回答了一个Guillemin提出的相对古老的问题。我们证明，如果两个台球映射在边界附近对于某个$\alpha > 1/2$是$C^{1,\alpha}$-共轭的，那么相应的区域是相似的，即它们可以通过缩放和等距变换从一个得到另一个。作为一个应用，我们证明了平面台球可积性Birkhoff猜想的一个条件版本，并表明原始猜想等价于我们称之为“延拓问题”的问题。相当有趣的是，我们的结果以及对该延拓问题的正面解决将为谱理论中一个密切相关的问题提供答案：如果两个区域的标记长度谱相同，它们是否一定等距？