关于直纹面的高阶合冲 II

在本文中，我们继续研究 \cite{ES} 中开始的无理直纹面的性质 $N_p$。设 $X$ 为亏格 $g \geq 1$ 的曲线上的直纹面，具有极小截面 $C_0$ 与数值不变量 $e$。当 $X$ 为 $e = -1$ 的椭圆直纹面时，存在椭圆曲线 $E \subset X$ 使得 $E \equiv 2C_0 -f$。我们证明若 $L \in {Pic}X$ 属于数值类 $aC_0 +bf$ 且满足性质 $N_p$，则 $(C,L|_{C_0})$ 与 $(E,L|_E)$ 满足性质 $N_p$，从而 $a+b \geq 3+p$ 且 $a+2b \geq 3+p$。这给出了 \cite{GP2} 中 Gallego-Purnaprajna 猜想相关部分的证明。当 $g \geq 2$ 且 $e \geq 0$ 时，我们证明了一些关于性质 $N_p$ 的有效性结果。设 $L \in {Pic}X$ 为数值类 $aC_0 +bf$ 中的线丛。我们的主要结果关于 $(X,L)$ 的高阶合冲与 $(C,L_{C})$ 的高阶合冲之间的关系，其中 $L_C$ 为 $L$ 到 $C_0$ 的限制。特别地，我们证明如下： $(1)$ 若 $e \geq g-2$ 且 $b-ae \geq 3g-2$，则 $L$ 满足性质 $N_p$ 当且仅当 $b-ae \geq 2g+1+p$。 $(2)$ 当 $C$ 为亏格 $g \geq 2$ 的超椭圆曲线时，$L$ 正规生成当且仅当 $b-ae \geq 2g+1$，正规表示当且仅当 $b-ae \geq 2g+2$。又若 $e \geq g-2$，则 $L$ 满足性质 $N_p$ 当且仅当 $a \geq 1$ 且 $b-ae \geq 2g+1+p$。