关于奇异平曲线的几何不变量

给定平曲线的光滑奇点描述 $(\{f(x,y)=0\},0)\subset (\mathbb K^2,0), \mathbb K=\mathbb R, \mathbb C$，我们定义两个不变量 $I_f$ 和 $V_f\in \mathbb N\cup\{\infty\}$，分别计数集中在奇点处的拐点数和顶点数（在复数情形下需适当解释）；前者是仿射不变量，后者是在 $\mathbb R^2$ 中的相似变换下不变量，以及其在 $\mathbb C^2$ 中的类比。我们证明对于几乎所有 $f$ 的表示（即其补集为无限维子集），这些不变量是有限的。事实上，当曲线无光滑组成时，这些不变量总是有限且有界的，我们可以对其可能取得的值进行更明确的描述；该值集合当然是 $f$ 的一个分析不变量。我们通过计算 Arnold 的 $\mathcal K$ 简单奇点以及具有 ${\mathcal A}$ 简单参数化的奇点来说明我们的结果。我们还获得了这些不变量、$f$ 的 Milnor 数以及曲线奇点与其渊交圆之间的接触数的之间的关系。