论高斯和与 Stechkin 常数的计算
数论
2013-10-24 v2
摘要
对于定义为 S_n(a,q) := \sum_{x (mod q)} e(ax^n/q) 的高斯和，Stechkin (1975) 猜想量 A := \sup_{n,q\ge 2} \max_{\gcd(a,q)=1} |S_n(a,q)|/q^(1-1/n) 是有限的。Shparlinski (1991) 证明了 A 是有限的，但由于缺乏对和 S_n(a,q) 的有效界，A 的精确确定多年来一直难以解决。利用 Cochrane 和 Pinner (2011) 关于素数模高斯和的最新工作，本文表明，对于常数 A = |S_6(4787,4606056)|/4606056^(5/6) = 4.709236...，对所有 n,q \ge 2 和所有满足 gcd(a,q)=1 的整数 a，均有尖锐不等式 |S_n(a,q)| \le Aq^(1-1/n) 成立。我们方法的一个有趣方面是，应用了 Cohn 和 Elkies (2003) 关于球堆积问题中心密度的有效下界，以优化我们主要计算算法的运行时间。
引用
@article{arxiv.1310.5669,
title = {On Gauss sums and the evaluation of Stechkin's constant},
author = {William D. Banks and Igor E. Shparlinski},
journal= {arXiv preprint arXiv:1310.5669},
year = {2013}
}
备注
16 pages, 3 figures, 2 tables