关于 Corr\'adi-Hajnal 推论的有向图版本

对于 $k \in \mathbb N$，Corr\'adi 和 Hajnal 证明了每个具有 $3k$ 个顶点且最小度 $\delta(G) \ge 2k$ 的图 $G$ 都有一个 $C_3$-因子，即顶点集的一个划分，使得每个部分诱导一个 3-圈 $C_3$。Wang 证明了每个具有 $3k$ 个顶点且最小总度 $\delta_t(\overrightarrow G):=\min_{v\in V}(deg^-(v)+deg^+(v)) \ge 3(3k-1)/2$ 的有向图 $\overrightarrow G$ 都有一个 $\overrightarrow C_3$-因子，其中 $\overrightarrow C_3$ 是有向 3-圈。Wang 结果中的度界是紧的。然而，我们的主要结果表明，对于所有满足 $a+b=k$ 的整数 $a \ge 1$ 和 $b \ge 0$，每个具有 $3k$ 个顶点且最小总度 $\delta_t(\overrightarrow G)\ge 4k-1$ 的有向图 $\overrightarrow G$ 都有一个由 $a$ 个 $\overrightarrow T_3$ 副本和 $b$ 个 $\overrightarrow C_3$ 副本组成的因子，其中 $\overrightarrow T_3$ 是三个顶点上的传递竞赛图。特别地，取 $b=0$，$\overrightarrow G$ 存在一个 $\overrightarrow T_3$-因子；取 $a=1$，则可以通过仅反转 $\overrightarrow G$ 的一条边来获得一个 $\overrightarrow C_3$-因子。所有这些结果都在无向多重图的框架下以更一般的形式陈述并得到证明。我们猜想每个具有 $3k$ 个顶点且最小半度 $\delta_0(\overrightarrow G):=\min_{v\in V}\min(deg^-(v),deg^+(v)) \ge 2k$ 的有向图 $\overrightarrow G$ 都有一个 $\overrightarrow C_3$-因子，并证明了这一猜想在渐近意义下是正确的。