分数匹配、分支因子与边色临界图

本文第一部分研究图的星-圈因子。它刻画了图 $G$ 的星-圈因子，并证明了图 $G$ 的 $\{K_{1,1}, K_{1,2}, C_n\colon n\ge 3\}$-因子中 $K_{1,2}$-分支最小个数的上界。此外，它说明了这些分支相对于 $G$ 的 Gallai-Edmonds 分解所处的位置，并刻画了不被包含在 $G$ 的任意 $\{K_{1,1}, K_{1,2}, C_n\colon n\ge 3\}$-因子中的边。本文第二部分证明了每个边色临界图 $G$ 都有一个 $\{K_{1,1}, K_{1,2}, C_n\colon n\ge 3\}$-因子，且 $K_{1,2}$-分支的个数以其分数匹配数为界。进而，它表明对于 $G$ 的每条边 $e$，都存在一个 $\{K_{1,1}, K_{1,2}, C_n\colon n\ge 3\}$-因子 $F$ 使得 $e \in E(F)$。讨论了这些结果对 Vizing 临界图猜想的影响。