有向图中的有向 2-因子与二部图中包含完美匹配的 2-因子

本文给出如下结果：若 $D$ 是一个阶为 $n$ 的有向图，且对于任意两个满足 $(u, v) \notin A(D)$ 的不同顶点 $u$ 和 $v$ 有 $d_{D}^{+}(u) + d_{D}^{-}(v) \ge n$，则 $D$ 包含一个恰好具有 $k$ 个长度至少为 3 的有向圈的有向 $2$-因子，其中 $n \ge 12k+3$。该结果等价于以下结果：若 $G$ 是一个阶为 $2n$、部集为 $X$ 和 $Y$ 的平衡二部图，且对于任意两个满足 $xy \notin E(G)$ 的顶点 $x \in X$ 和 $y \in Y$ 有 $d_{G}(x)+d_{G}(y) \ge n + 2$，则对于每一个完美匹配 $M$，$G$ 包含一个恰好具有 $k$ 个长度至少为 6 的圈且包含 $M$ 的每一条边的 $2$-因子，其中 $n \ge 12k+3$。这些结果分别推广了 Woodall (1972) 和 Las Vergnas (1972) 关于 Hamilton 圈的定理。