平衡二分有向图中各种偶数长度的圈

设 $D$ 是一个阶数为 $2a\geq 4$ 的强连通平衡二分有向图。设 $x,y$ 是 $D$ 中不同的顶点。如果 $x\rightarrow z$ 且 $y\rightarrow z$，则称 $\{x,y\}$ 支配顶点 $z$；在这种情况下，我们称点对 $\{x,y\}$ 为支配对。在本文中我们证明：(i). 如果 $a\geq 4$ 且对于每一对支配顶点 $\{x,y\}$ 都有 $max\{d(x), d(y)\}\geq 2a-1$，那么 $D$ 包含一个长度为 $2a-2$ 的圈，或者 $D$ 是一个有向圈。(ii). 如果 $D$ 包含一个长度为 $2a-2\geq 6$ 的圈，且对于每一对支配顶点 $\{x,y\}$ 都有 $max \{d(x), d(y)\}\geq 2a-2$，那么对于任意 $k$ ($1\leq k\leq a-1$)，$D$ 包含一个长度为 $2k$ 的圈。(iii). 如果 $a\geq 4$ 且对于每一对支配顶点 $\{x,y\}$ 都有 $max\{d(x), d(y)\}\geq 2a-1$，那么对于每一个 $k$ ($1\leq k\leq a$)，$D$ 包含一个长度为 $2k$ 的圈，除非 $D$ 同构于唯一的八阶例外有向图。