关于拓扑典型多变量阿基米德Copula的可微性与质量分布

Copula，特别是阿基米德Copula，通常被视为解析上良好且正则的对象。受最近一项结果的启发，该结果指出二元Copula的一阶偏导数可能表现出令人惊讶的病态行为，我们关注d维阿基米德Copula类$\mathcal{C}_{ar}^d$，并证明$(d-1)$阶偏导数也可能出人意料地不规则。事实上，我们证明了存在阿基米德Copula $C \in \mathcal{C}_{ar}^d$，其$(d-1)$阶偏导数是病态的，即对于几乎每个$\mathbf{x} \in [0,1]^{d-1}$，导数$\partial_1...\partial_{d-1}C(\mathbf{x},y)$在$y \in (0,1)$的一个稠密集上不存在。\ 由于Copula $C$的$(d-1)$阶混合偏导数的存在性与离散分量的存在性密切相关，我们也研究阿基米德Copula的质量分布。基于阿基米德Copula与所谓Williamson测度之间的相互作用，我们证明了Williamson测度的绝对连续性、离散性和奇异性会传播到相关的阿基米德Copula，反之亦然。此外，我们证明了由其绝对连续、离散和奇异分量具有全支撑的Copula组成的$\mathcal{C}_{ar}^d$子族在$\mathcal{C}_{ar}^d$中是稠密的。\ 最后，从Baire范畴的角度审视$\mathcal{C}_{ar}^d$，我们证明了与二元Copula空间相反，一个拓扑典型的$d$维阿基米德Copula $C$不是绝对连续的，但具有退化的离散分量，这意味着病态元素在$\mathcal{C}_{ar}^d$中是稀有的。