关于双变量 Archimax copula：水平集、质量分布及相关结果

受到 19 篇文献 [Mai and Scherer, 2011; Trutschnig 等, 2016] 中关于双变量极值 copula 如何分布质量的研究启发，我们将这些发现扩展至更大的双变量 Archimax copula 族 $\mathcal{C}_{am}$。我们运用马尔可夫核（条件分布）来分析 Archimax copula $C \in \mathcal{C}_{am}$ 的质量分布，并证明其支持由函数 $f^0$、$g^L$ 和 $g^R$ 决定。此外，我们证明若存在离散成分，其质量集中于某些凸函数 $f^s$ 或非递减函数 $g^t$ 的图上。研究 Archimax copula $C \in \mathcal{C}_{am}$ 的水平集 $L^t$，我们建立这些集合可由上述函数 $f^s$ 和 $g^t$ 表征。进一步地，认识到 copula $C$ 的水平集 $L^t$ 与其 Kendall 分布函数 $F_C^K$ 之间的密切关系，我们提供了针对任意 Archimax copula $C\in \mathcal{C}_{am}$ 的 $F_C^K$ 表示的另一种证明，并推导出水平集质量 $\mu_C(L^t)$ 的简洁表达式。基于 Archimax copula $C \in \mathcal{C}_{am}$ 可由两个单变量概率测度 $\gamma$ 和 $\vartheta$ 表示——即所谓的 Williamson 和 Pickands 依赖测度——我们展示这些测度 $\gamma$ 和 $\vartheta$ 的绝对连续性、离散性和奇异性会传递到相应的 Archimax copula $C_{\gamma, \vartheta}$。最后，我们推导 $\gamma$ 和 $\vartheta$ 的条件，使得 $C_{\gamma, \vartheta}$ 的绝对连续、离散或奇异组成分的支持与 $C_{\gamma, \vartheta}$ 的支持一致。