多元阿基米德Copula的收敛性与质量分布及其与Williamson变换的相互作用

受近期一项结论的启发——该结论指出在二元阿基米德copula类中，标准逐点收敛蕴含几乎所有条件分布的弱收敛——本文研究了所有维数 $d \geq 3$ 的 $d$ 维阿基米德copula组成的类 $\mathcal{C}_{ar}^d$，并证明了关于前 $d-1$ 个坐标条件的上述蕴含关系。我们建立了若干等价于 $\mathcal{C}_{ar}^d$ 中逐点收敛的性质，并且——作为使用条件分布（Markov核）的副产品——为著名的水平集质量 $\mu_C(L_t)$ 与Kendall分布函数 $F_K^d$ 的公式给出了更简洁的替代证明，同时提供了后者的一种新颖几何解释。将 $d$ 维阿基米德copula的归一化生成元 $\psi$ 从其所谓的Williamson测度 $\gamma$（定义在 $(0,\infty)$ 上）的视角审视，随后被证明不仅能够推导出用 $\gamma$ 表示的 $\mu_C(L_t)$ 与 $F_K^d$ 的惊人简洁表达式，并通过Williamson测度的弱收敛刻画 $\mathcal{C}_{ar}^d$ 中的逐点收敛，而且能够证明 $\gamma$ 的正则/奇异性质直接传递给相应的copula $C_\gamma \in \mathcal{C}_{ar}^d$。这些结果最终被用于证明所有绝对连续 $d$ 维copula的族与所有奇异 $d$ 维copula的族均在 $\mathcal{C}_{ar}^d$ 中稠密，并强调尽管阿基米德copula代数结构简洁，其条件分布函数的不规则性可能表现出令人惊讶的奇异行为。