关于图的亏缺问题

受 Steiner 三元系与拉丁方中类似问题的启发，Nenadov、Sudakov 与 Wagner [Completion and deficiency problems, Journal of Combinatorial Theory Series B, 2020] 近期引入了图亏缺的概念。给定一个全局生成性质 $\mathcal P$ 与图 $G$，$G$ 相对于性质 $\mathcal P$ 的亏缺 $\text{def}(G)$ 是使得联图 $G*K_t$ 具有性质 $\mathcal P$ 的最小非负整数 $t$。特别地，Nenadov、Sudakov 与 Wagner 提出了确定 $n$ 个顶点的图 $G$ 需要多少条边才能保证 $G*K_t$ 含有 $K_r$-因子（对任意固定的 $r\geq 3$）的问题。本文完全解决了他们的问题。我们还给出了一个类似的结果，迫使 $G*K_t$ 含有任意固定的、有界度且小带宽的二部 $(n+t)$-顶点图。