补全与亏量问题

给定一个阶为$n$的部分Steiner三元系（STS），它能嵌入的最小完全STS的阶是多少？对该问题的研究可追溯至40多年前。本文对相对稀疏的STS回答了该问题，表明给定一个阶为$n$、至多含$r \le \varepsilon n^2$个三元组的部分STS，它总可嵌入到阶为$n+O(\sqrt{r})$的完全STS中，这在渐近意义下是最优的。我们也获得了关于Latin方与其他设计的补全的类似结果。这提出了一类新的自然问题，称为亏量问题。给定一个全局生成性质$\mathcal{P}$与图$G$，我们定义图$G$相对于性质$\mathcal{P}$的亏量为最小正整数$t$，使得联图$G\ast K_t$具有性质$\mathcal{P}$。为说明此概念，我们考虑一些被充分研究的性质的亏量版本，如具有$K_k$-分解、Hamilton性、具有三角形因子以及超图中具有完美匹配。本文的主要目标是提出对这些问题的系统研究；因此也给出了若干未来研究方向。