关于 Darboux 的变量 R-可分离性方法

我们讨论了 n 维黎曼空间上定态薛定谔方程中的 $R$-可分离性（带有因子 $R$ 的变量分离）问题。我们遵循 Gaston Darboux 的方法，他是第一个对 PDE（${\mathbb E}^3$ 上的拉普拉斯方程）中的 $R$-可分离性给出一般性处理的人。根据 Darboux 的观点，$R$-可分离性归结为两个条件：度规是等温的（其所有参数曲面在经典微分几何和现代孤子理论的意义上都是等温的），并且当给定一个等温度规时，它们的 Lamé 系数满足一个单一的约束，该约束要么是函数性的（当 $R$ 是调和函数时），要么是微分性的（在相反情况下）。这两个条件被推广到 n 维情形。特别地，我们定义了 n 维等温度规，并区分了一个重要的等温度规子类，我们称之为二元度规。该方法通过两个标准示例和两个不太标准的示例加以说明。在所有情况下，该方法都提供了替代且大大简化的证明或推导。我们制定了一个系统化的程序来分离 $R$-可分离度规。该程序在三维拉普拉斯方程的情形下得以实现。最后，我们讨论了 Dupin-cyclidic 度规类，它们在 ${\mathbb E}^3$ 上的拉普拉斯方程中是非正则 $R$-可分离的。