关于循环 Kautz 有向图

图论中的一个突出问题是寻找在其直径、度和顶点数方面受限的极值图或有向图。这里我们获得了一类具有极小直径的新有向图族，即给定顶点数和出度，不存在其他直径更小的有向图。这个新手族称为修正循环有向图 $MCK(d,\ell)$，它源自 Kautz 有向图 $K(d,\ell)$。众所周知，Kautz 有向图 $K(d,\ell)$ 在所有具有其顶点数和度的有向图中具有最小直径。我们定义循环 Kautz 有向图 $CK(d,\ell)$，其顶点由所有长度为 $\ell$ 的可能序列 $a_1\ldots a_\ell$ 标记，其中每个字符 $a_i$ 从包含 $d+1$ 个不同符号的字母表中选取，序列中连续字符不同（如 Kautz 有向图中），现在还要求 $a_1\neq a_\ell$。循环 Kautz 有向图 $CK(d,\ell)$ 在顶点 $a_1 a_2\ldots a_\ell$ 和 $a_2 \ldots a_\ell a_{\ell+1}$ 之间有弧，其中 $a_1\neq a_\ell$ 且 $a_2\neq a_{\ell+1}$。与 Kautz 有向图 $K(d,\ell)$ 不同，$CK(d,\ell)$ 的任何顶点标签都可以循环移位以再次形成 $CK(d,\ell)$ 的顶点标签。我们给出 $CK(d,\ell)$ 的主要参数：顶点数、弧数和直径。此外，我们构造修正循环 Kautz 有向图 $MCK(d,\ell)$ 以获得与 Kautz 有向图相同的直径，并表明 $MCK(d,\ell)$ 是 $d$-出正则的。最后，我们计算 $CK(d,\ell)$ 的迭代线有向图的顶点数。