关于有向图中 3-核存在的两个新结果

设 $D$ 为一个有向图。若对 $V(D)$ 的子集 $N$ 中任意一对顶点 $u,v \in N$ 均有 $d(u,v) \geq k$，则称 $N$ 为 $k$-独立集；若对任一顶点 $u \in V(D) \setminus N$，存在 $v \in N$ 使得 $d(u,v) \leq \ell$，则称 $N$ 为 $\ell$-吸收集。 $D$ 的一个 $(k,\ell)$-核是既 $k$-独立又 $\ell$-吸收的顶点的子集。 $k$-核即 $(k,k-1)$-核。在本报告中，我们给出硕士研究中关于核理论的主要结果。我们证明：若有向图 $D$ 强连通，且 $D$ 的每条圈 $C$ 满足：$(i)$ 若 $C \equiv 0 \pmod 3$，则 $C$ 有一条短弦；$(ii)$ 若 $C \not \equiv 0 \pmod 3$，则 $C$ 有三条短弦：两条连续且第三条与前两条之一相交，则 $D$ 有一个 $3$-核。此外，我们引入 Meyniel 与 Duchet 于 1983 年提出的代换方法的一种针对 $3$-核的修正，并用它证明：若每个长度不能被三整除的回路有四条短弦，则拟-$3$-核-完美有向图 $D$ 是 $3$-核-完美的。