关于偏线有向图中的 $(k,l)$-核、半核与 Grundy 函数

设 $D=(V,A)$ 为一个有向图，考虑弧子集 $A'\subseteq A$ 与满射映射 $\phi: A\to A'$，使得 $(i)$ $A'$ 的头部集合为 $H(A')=V$；$(ii)$ 该映射固定 $A'$ 的元素，即 $\phi|A'=Id$，且对每个顶点 $j\in V$，有 $\phi(\omega^-(j))\subset \omega^-(j)\cap A'$。于是，$D$ 的{\it 偏线有向图}（记为 $\mathcal{L}_{(A',\phi)}D$（若对 $(A', \phi)$ 从上下文明确，简称 $\mathcal{L}D$））是以 $A'$ 为顶点集 $V (\mathcal{L}D)=A'$、以 $A(\mathcal{L}D) = \{(ij, \phi(j,k)) : (j,k)\in A\}$ 为弧集的有向图。本文证明以下结果：设 $k,l$ 为两个满足 $1\le l \le k$ 的自然数，$D$ 为最小入度至少为 1 的有向图。则 $D$ 的 $(k,l)$-核的个数小于或等于 $\mathcal{L} D$ 的 $(k,l)$-核的个数。此外，若 $l<k$ 且 $D$ 的围长至少为 $l+1$，则这两个数目相等。$D$ 的半核个数等于 $\mathcal{L} D$ 的半核个数。同时，我们引入 $(k,l)$-Grundy 函数的概念作为 Grundy 函数概念的推广，并证明 $D$ 的 $(k,l)$-Grundy 函数个数等于任意偏线有向图 $\mathcal{L} D$ 的 $(k,l)$-Grundy 函数个数。