关于小拟核猜想的结果

有向图 $D$ 的{\em 拟核}是一个独立集 $Q\subseteq V(D)$，使得对每个顶点 $v\in V(D)\backslash Q$，存在一条含一或两条弧的有向路径从 $v$ 到某顶点 $u\in Q$。1974年，Chv\'{a}tal与Lov\'{a}sz证明了每个有向图都有拟核。1976年，Erd\H{o}s与S\'zekely猜想每个无汇点有向图 $D=(V(D),A(D))$ 都有大小不超过 $|V(D)|/2$ 的拟核。本文给出一种新方法证明该猜想对反爪自由有向图的一个推广成立。对任意阶为 $n$ 的无汇点单向分裂有向图 $D$，当 $n\geq 3$ 时，我们给出更强结果：$D$ 有大小不超过 $\frac{n+3}{2} - \sqrt{n}$ 的拟核，且该界是紧的。