准锥猜想的一个可变版本

digraph $D$ 的准锥是这样一个独立集 $Q$，使得每个顶点最多在两步内都能到达 $Q$。48 年来的猜测，由 P.L. Erd\H{o}s 和 Sz\'ekely 提出，称为小 QK 猜想，指出每个无匿首 digraph 都包含一个大小至多为 $n/2$ 的准锥。最近，Spiro 提出了大 QK 猜想，即每个无匿首 digraph 都包含一个大小至少为 $n/2$ 的准锥 $Q$，并展示了它推广自小 QK 猜想。本文中，我们证明大 QK 猜想暗示小 QK 猜想在较弱常数下成立。我们还展示大 QK 猜想等价于其锐利版本，从而肯定了 Spiro 的问题。我们提出这些猜想的可变版本，这些猜想在一般情况下仍然开放。鲜有已知具有大小 $(1-\alpha)n$ 或更小准锥的 digraph。我们证明具有受限二色数的 digraph 满足这一更强语句，即每个无匿首 digraph 都包含一个大小至多为 $(1-1/k)n$ 的准锥，其中 $k$ 为 digraph 的核完美数。