关于低度数的 k-有序图

若对于简单图 G 的任意 k 个不同顶点 v_1, ..., v_k 的序列，G 中存在一个圈（分别为哈密顿圈）按指定顺序包含这 k 个顶点，则称 G 是 k-有序的（分别为 k-有序哈密顿的）。1997 年 Ng 和 Schultz 引入了这些圈可序性的概念，并受到图的 k-有序性蕴含 (k-1)-连通性这一事实的启发，提出了低度数 k-有序哈密顿图的存在性问题。我们构造了一类无穷图族，称之为手链式图（bracelet graphs），它们是 (k-1)-正则的，并且对于奇数 k 是 k-有序哈密顿的。该结果为奇数 k 的低度数 k-有序哈密顿图的存在性问题提供了最佳可能的回答。我们进一步证明，对于偶数 k，不存在最小度数为 k-1 且最大度数小于 k+2 的 k-有序手链式图，并给出了最小度数为 k-1、最大度数为 k+2 且对偶数 k 为 k-有序的手链式图的无穷图族。与 k-有序性相关的概念，即 k-边有序性，同样与连通性性质密切相关。我们在无向图和有向图中研究这一关系，并给出蕴含 k-（边-）有序性性质所需的连通性的界。