奇围长为 $2k+1$ 的最小 $C_{2l+1}$-临界图

给定图 $H$，若图 $G$ 不存在到 $H$ 的同态，但 $G$ 的任意真子图都存在到 $H$ 的同态，则称 $G$ 为 $H$-临界图。注意，$K_{k-1}$-临界图即为标准的 $k$-(色)临界图。我们考虑先前针对 $k$-临界图研究的极值问题，并将其推广至 $H$-临界图。在完全图之后，$H$ 的下一个自然考察情形是奇圈。因此，给定整数 $\ell$ 和 $k$，$\ell\geq k$，我们提出：奇围长至少为 $2k+1$ 的 $C_{2\ell +1}$-临界图的最小阶数是多少？记此值为 $\eta(k,C_{2\ell+1})$，我们证明当 $1\leq\ell\leq k\leq\frac{3\ell+i-3}{2}$（$2k=i\bmod 3$）时 $\eta(k,C_{2\ell+1})=4k$，且 $\eta(3,C_5)=15$。后者意味着，奇围长为 $7$ 且不存在到 $5$-圈同态的最小图的阶数为 $15$。计算工作表明，在 $15$ 个顶点上恰好存在 $11$ 个这样的图，其中仅有两个是 $C_5$-临界的。