关于 $GL_n(\mathbb F_q)$ 字符值的研究

本文采用顶点算子技术计算 $GL_n(\mathbb F_q)$ 上单幂类的字符值。通过将 Grothendieck 环 $R_G=\bigoplus_{n\geq0}^\infty R(\GL_n(\mathbb F_q))$ 实现为 Fock 空间，我们提出了 $GL_n(\mathbb F_q)$ 上的 Murnanghan-Nakayama 规则，其将以 $\overline{\mathbb F}_q$ 中线性字符在伯罗利代数作用下的轨道 $\phi$ 着色的 Schur 函数与以 $f_1=t-1$ 着色的修改 Hall-Littlewood 函数之间的关系。该规则为 $GL_n(\mathbb F_q)$ 字符表提供了详细信息。作为应用，我们运用顶点代数方法确定 $GL_n(\mathbb F_q)$ 的 Steinberg 字符，而这些字符此前是通过 Curtis-Lehrer-Tits 利用球建筑同调群和 Springer-Zelevinsky 方法结合 Hopf 代数确定的。