$GL_n(\mathbb F_q)$的特征标与顶点算子

本文中，我们提出一种顶点算子方法，用以构造并计算一般线性群$\GL_n(\mathbb F_q)$的所有复不可约特征标。Green关于$\GL_n(\mathbb F_q)$的理论在表示Grothendieck环$R_G=\bigoplus_{n\geq 0}R(\GL_n(\mathbb F_q))$实现为两个同构Fock空间（关联于两个无穷维$F$-等变Heisenberg李代数$\widehat{\mathfrak{h}}_{\hat{\overline{\mathbb F}}_q}$与$\widehat{\mathfrak{h}}_{\overline{\mathbb F}_q}$，其中$F$为代数闭域$\overline{\mathbb F}_q$的Frobenius自同构）的框架下被恢复并增强。在此图景下，不可约特征标由Schur函数的Bernstein顶点算子实现，共轭类的特征函数由Hall-Littlewood函数的顶点算子实现，而特征标表完全由这两类顶点算子的矩阵系数给出。当前方法的特点之一是通过顶点算子演算将Fock空间$R_G$更简单地辨识为对称函数的Hall代数，另一特点是我们能一般地计算特征标表，其中Green次数公式作为一例得到展示。