$GL_n(\mathbf{Q})$、$SL_n(\mathbf{Z})$及作用于树上的群上的无穷特征标

作为对J. Rosenberg问题的回答，我们构造了全局域$\mathbf{K}$及$n\geq 2$时$GL_n(\mathbf{K})$上无穷特征标的首批例子。 $n=2$的情形由下述更一般的结果推出。设$G$为作用于局部有限树$X$上的非顺从可数子群。假设$X$的每个顶点的稳定子有限，或$G$在${\rm Aut}(X)$中像的闭包非顺从。我们证明$G$具有不可数多个可迹的无穷维不可约酉表示$(\pi, \mathcal{H})$，即由$\pi(G)$生成的$\mathcal{B}(\mathcal{H})$的$C^*$-子代数包含$\mathcal{H}$上紧算子代数。在$n\geq 3$的情形，我们证明对$G=SL_n(R)$（其中$n\geq 3$，$R$为使得$G$非顺从的整环）存在无穷多个特征标。特别地，对$n\geq 2$，群$SL_n(\mathbf{Z})$具有无穷多个此类特征标。