离散价值环上 $\mathrm{GL}_2$ 与 $\mathrm{GU}_2$ 的实字符与实类

设 $\mathfrak{o}$ 为特征为奇数的非阿贝尔局部域的整数环，$\mathfrak{p}$ 为其最大理想，$\mathfrak{o}_\ell = \mathfrak{o}/\mathfrak{p}^\ell$ 其中 $\ell\ge 2$。本文研究有限群 $\mathrm{GL}_2(\mathfrak{o}_\ell)$ 和 $\mathrm{GU}_2(\mathfrak{o}_\ell)$ 的实值字符与实表示。我们给出这些群中实类与强实类的完整分类，并描述实值不可约复数字符的特征。我们证明，$\mathrm{GL}_2(\mathfrak{o}_\ell)$ 的每个实值不可约复数字符都可由 $\mathbb{R}$ 上的表示实现。相比之下，我们证明 $\mathrm{GU}_2(\mathfrak{o}_\ell)$ 接受不可在 $\mathbb{R}$ 上实现的实值不可约字符。这些结果扩展了关于有限群 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ 和 $\mathrm{GU}_n(\mathbb{F}_q)$ 的已知现象。