有限局部主理想环上$\mathrm{GL}_{N}$的正则表示

设$\mathfrak{o}$为具有有限剩余域的非阿基米德局部域的整数环，$\mathfrak{p}$为其极大理想，且$r\geq2$为整数。有限群$G_{r}=\mathrm{GL}_{N}(\mathfrak{o}/\mathfrak{p}^{r})$的一个不可约表示称为正则的，如果它在主同余核$K^{r-1}=1+\mathfrak{p}^{r-1}\mathrm{M}_{N}(\mathfrak{o}/\mathfrak{p}^{r})$上的限制由那些模$K^{1}$的稳定化子是$\mathrm{M}_{N}(\mathfrak{o}/\mathfrak{p})$中正则元的中心化子的表示组成。正则表示构成了$G_{r}$的表示中目前可进行显式构造的最大类。对它们的研究，受超尖点表示构造的推动，可追溯至Shintani，但一般情形长期悬而未决。本文给出了$G_{r}$所有正则表示的显式构造。