单幂群同调中的稳定性

设 $R$ 为加法群有限生成的（不必交换的）环，令 $U_n(R) \subset GL_n(R)$ 为 $R$ 上上三角单幂矩阵群。我们从表示稳定性的角度研究 $U_n(R)$ 的同调群如何随 $n$ 变化。我们的主定理断言：若对每个 $n$ 我们有环 $\mathbf{k}$ 上 $U_n(R)$ 的表示 $M_n$，它们适当相容并满足合适的有限性假设，则规则 $[n] \mapsto \widetilde{H}_i(U_n(R),M_n)$ 定义了一个有限生成 OI-模。作为推论，若 $\mathbf{k}$ 为域，则 $dim \widetilde{H}_i(U_n(R),\mathbf{k})$ 最终等于关于 $n$ 的多项式。我们还对数环 $\mathcal{O}$ 的 $GL_n(\mathcal{O})$ 的岩堀子群证明了类似结果。