Tor-酉 pro 环的同调 pro 稳定性

设 $\{A_m\}$ 为结合交换、不一定有单位的环的 pro 系统。假设 pro 系统 $\{\mathrm{Tor}^{\mathbb{Z}\ltimes A_m}_i(\mathbb{Z},\mathbb{Z})\}_m$ 对所有 $i>0$ 消失。则我们证明序列 $$\{H_l(\mathrm{GL}_n(A_m))\}_m \to \{H_l(\mathrm{GL}_{n+1}(A_m))\}_m \to \{H_l(\mathrm{GL}_{n+2}(A_m)\}_m \to \cdots$$ 对于足够大于 $l$ 和 $A_m$ 稳定范围的 $n$，稳定至 pro 同构。