紧致双曲面坐标下 Kerr 几何中 Dirac 方程可分离性面临的挑战

Dirac 方程支配自旋-1/2 粒子的行为。该方程分离为解耦的径向与角向微分方程，是计算本征值、准正模和束缚态等量的解析与数值计算中的关键步骤。然而，这种分离是在某些坐标系统中进行的，这些系统在 $r \rightarrow r_{horizon}$、$r \rightarrow r_\infty$ 或两者的极限区域中表现不佳。特别是，广泛使用的 Boyer-Lindquist 坐标在 $r_{horizon}$ 和 $r_\infty$ 处均包含时空几何的非物理特征。因此，受最近发展的在这些极限区域表现良好的 Kerr 黑洞紧致双曲面坐标系的启发，我们尝试对 Dirac 方程进行分离。我们首先在 Newman-Penrose 形式下构造适用于可分离性分析的零标架。然后，展示了一个意外结果：在此标架下，基于模 ansatz 的标准可分离步骤，Dirac 方程并未解耦为径向与角向方程。讨论了该行为的可能原因以及证明可分离性对各种计算的重要性。