论流体动力学型精确对的 bi-Hamiltonian 形变

本文关注 Poisson 对 $\omega_{\lambda}=\omega_2+\lambda \omega_1=u\delta'(x-y)+\f{1}{2}u_x\delta(x-y)+\lambda\delta'(x-y)$ 的非平凡 bi-Hamiltonian 形变。形变由一系列向量场 $\{X_2, X_4,...\}$ 生成，其中每个 $X_{2k}$ 在由尺度缩放诱导的度数下是 $2k$ 次齐次的。递归地构造向量场 $X_{2k}$ 可以得到两组涉及未知系数的关系：一组为线性关系，另一组为二次关系。我们证明了线性关系组具有几何意义：利用 Miura-拟平凡性，线性关系组表达了向量场 $X_{2k}$ 与 $\omega_1$ 的辛叶相切，且该切线条件等价于对 $\omega_{\lambda}$ 的精确性。此外，扩展了文献[17]的结果，我们构造了 Poisson 对 $\omega_{\lambda}$ 直至形变参数八阶的非平凡形变，从而证明了形变是无阻碍的，并且在该阶数下两个 Poisson 结构关于 $u$ 的导数都是多项式的。