双共形向量场与共形可分离伪黎曼流形的局部几何刻画 II

在本文中，我们继续研究在 {\em Class. Quantum Grav.} {\bf 21} 2153-2177 中开始的双共形向量场。这些是定义在伪黎曼流形上的向量场，满足微分条件 $\lie P_{ab}=\phi P_{ab}$、$\lie\Pi_{ab}=\chi\Pi_{ab}$，其中 $P_{ab}$、$\Pi_{ab}$ 是关于度量张量 $\rmg_{ab}$ 的正交且互补的投影子，而 $\lie$ 是李导数。在先前的一篇论文中，我们解释了如何通过分析这些微分条件来导出最相关的共形可分离（亦称双扭曲）伪黎曼流形情形的局部几何刻画。在本文中我们进一步推进此分析，并给出具有共形平坦叶度量的共形可分离伪黎曼流形的局部不变量刻画。这些刻画与已有的共形平坦伪黎曼流形刻画颇为相似，但我们必须要求由仿射、非度量联络（双共形联络）的曲率构造的某个四阶张量消失，而非外尔张量消失。我们还推测了其在任意伪黎曼流形中寻找由共形平坦超曲面构成叶状结构存在性结果方面的可能应用。