李-泊松代数的形变与手性

哈密顿系统围绕平衡点的线性化给出一组哈密顿对称谱：若 $\lambda$ 是线性化生成元的特征值，则 $-\lambda$ 与 $\bar{\lambda}$（从而 $-\bar{\lambda}$）也是特征值——前者意味着时间反演对称性，而后者保证解的实性。然而，围绕奇异平衡点（在非正则哈密顿系统中常见）的线性化结果不同，导致谱的哈密顿对称性破缺；时间反演不对称引起手性。这一有趣现象最初在分析 rattleback（一种具有未对齐惯性轴与几何轴的船形陀螺）的手性运动时发现 [Phys. Lett. A 381 (2017), 2772--2777]。为阐明手性谱如何产生，我们研究三维李-泊松系统，并对导致对称性破缺的奇点原型进行分类。核心思想是基础李代数的形变；借助 Bianchi 的所有三维李代数列表，我们证明所谓 B 类代数——由单代数 so(3) 的非对称形变产生——在围绕其奇点线性化时给出手性谱。该形变理论被推广到更高维，包括与流体力学相关的无限维泊松流形。