可满足 $k$-CSP 的可近似性：VII

设 $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_k$ 为有限字母表，$\mu$ 为 $\Sigma_1 \times \dots \times \Sigma_k$ 上的分布，满足每个原子的概率至少为 $\alpha$。我们证明：若 $\mu$ 不容许阿贝尔嵌入，且 $f_i: \Sigma_i \to \mathbb{C}$ 为 $1$ 有界函数（$i=1,\ldots,k$），满足 \n\n$$\left|\mathbb{E}_{(x_1,\dots,x_k) \sim \mu^{\otimes n}}\Big[f_1(x_1) \dots f_k(x_k)\Big]\right| \geq \varepsilon,$$\n\n则存在 $L\colon \Sigma_1^n\to\mathbb{C}$，其度至多为 $d$，$\|L\|_2\leq 1$，且 $|\langle f_1, L\rangle|\geq \delta$，其中 $d$ 和 $\delta>0$ 仅取决于 $k, \alpha$ 和 $\varepsilon$。这解答了 Bhangale、Khot 及 Minzer（STOC 2022）所提出的分析性问题。我们还证明了若干对后续应用有益的推广结果。