共轭代数整数的极限分布

设 $\Sigma \subset \mathbb{C}$ 为复平面上的紧致子集，$\mu$ 为 $\Sigma$ 上的概率分布。我们给出了 $\mu$ 成为最终位于包含 $\Sigma$ 的任何开集中的共轭代数整数完备集上均匀概率测度序列的弱*极限的充分必要条件。给定 $n\geq 0$、满足我们必要条件的任何概率测度 $\mu$ 以及包含 $\Sigma$ 的任何开集 $D$，我们开发并实现了一个关于 $n$ 的多项式时间算法，该算法返回一个 $n$ 次整首一不可约多项式，使得其所有根均位于 $D$ 内，并且当 $n\to \infty$ 时其根分布弱收敛于 $\mu$。我们还证明了 $\Sigma\subset \mathbb{R}$ 且开集在 $\mathbb{R}$ 内时的定理，该定理将 Smith 的主定理作为特例恢复。给定任何有限域 $\mathbb{F}_q$ 和任何整数 $n$，我们的算法返回无限多个 $\mathbb{F}_q$ 上的 Abel 簇，它们不同构于任何 $\mathbb{F}_{q^n}$ 上曲线的 Jacobi 簇。