ZF 下的延伸器与秩到秩嵌入的可构造性

假设 ZF（不包含选择公理）。设 $j:V_\varepsilon\to V_\delta$ 为非平凡 $\in$-共尾 $\Sigma_1$-初等嵌入，其中 $\varepsilon,\delta$ 为极限序数。我们证明了 $j$ 相对于 $V_\delta$ 的可构造性的一些限制，主要关注 $\varepsilon=\delta$ 的情形。特别地，若 $\varepsilon=\delta$ 且 $j\in L(V_\delta)$，则 $\delta$ 的共尾性为 $\omega$。然而，假设 ZFC+I$_3$ 且取适当的 $\varepsilon=\delta$，则可以力迫得到这样的 $j\in L(V^{V[G]}_\delta)$。假设依赖选择且 $\delta$ 的共尾性为 $\omega$（但不假设 $V=L(V_\delta)$），且 $j:V_\delta\to V_\delta$ 为 $\Sigma_1$-初等嵌入，我们证明存在“完美多”个这样的 $j$，且没有一个是“孤立的”。假设存在弱 Löwenheim-Skolem 基数的真类，我们还给出了具有传递性 $M$ 的嵌入 $j:V\to M$ 的临界点的一阶刻画。主要结果依赖于 ZF 下延伸器的发展（在存在此类 wLS 基数时最为有用）。