关于 Prony 系统低秩近似的代数性质

我们考虑从矩测量 $m_k(F)=\int x^k F(x) dx = \sum_{i=1}^d a_ix^k$ 重构如下形式的脉冲序列信号 $$F(x) = \sum_{i=1}^d a_i \delta(x-x_i),$$ 当某些节点 $x_i$ 近似碰撞时，反演变得不稳定。给定含噪的矩测量，一个典型的后果是重构算法会以具有更少节点的信号 $\tilde{F}$ 来估计信号 $F$。我们推导了具有 $d$ 个节点的信号 $F$ 与具有严格更少节点 $l$ 的信号 $\tilde{F}$ 之间矩差异的下界。接下来，我们考虑 $d$ 个节点信号 $F$ 的非一般情形的几何，对此存在一个 $l<d$ 个节点的信号 $\tilde{F}$，其矩满足 \begin{align*} m_0(\tilde{F})=m_{0}(F),\ldots,m_{p}(\tilde{F})=m_{p}(F),&& p>2l-1 . \end{align*} 我们对一般 $d$、$l=1$ 且 $p=2$ 的情形给出了完整描述。对于 $p=2l-1$ 的情形，我们给出了可从早期工作中推断出的参考。