求解具有近碰撞节点的Prony系统时的误差放大几何

我们考虑从矩 $m_k(F)=\int x^kF(x)dx$ 重构先验已知形式 $F(x)=\sum_{j=1}^{d}a_{j}\delta\left(x-x_{j}\right)$ 的“尖峰序列”信号 $F$ 的问题。我们假设矩 $m_k(F)$, $k=0,1,\ldots,2d-1$ 已知且绝对误差不超过 $\epsilon > 0$。该问题本质上等价于求解Prony系统 $\sum_{j=1}^d a_jx_j^k=m_k(F), \ k=0,1,\ldots,2d-1$。我们研究在节点 $x_1,\ldots,x_d$ 近碰撞（即形成尺寸 $h \ll 1$ 的簇）情况下从 $m_k(F)$ 重构 $F$ 的“误差放大几何”。我们表明，此种情况下误差放大受信号 $F$ 参数空间中某些代数簇（我们称之为“Prony簇”）支配。基于此，我们就最坏情况重构误差给出了同阶的下界和上界。此外，我们分别推导了振幅与节点重构的下界和上界。最后我们讨论了在给定额外先验信息时如何利用Prony簇的几何来改善重构精度。