Prony簇的几何与奇点

我们开始对 Prony 簇 $S_q(\mu)$ 的拓扑、几何与奇点进行系统研究，该簇由经典 Prony 系统的前 $q+1$ 个方程所定义：$$\sum_{j=1}^d a_j x_j^k = \mu_k, \ k= 0,1,\ldots \ .$$ Prony 簇作为 Vandermonde 簇的推广（在 [5,21] 中引入），具有显著的独立数学意义（参见 [5,19,21]）。Prony 簇在求解 Prony 系统的误差放大模式研究中的重要性已在 [1-4,19] 中得到证明。在 [19] 中，从奇点理论的角度对这些结果进行了综述。在本文中，我们证明了对于 $q\ge d$，簇 $S_q(\mu)$ 微分同胚于 $d$ 次多项式空间 ${\cal V}_d$ 中某仿射子空间与双曲集 $H_d$ 的交集。在 Prony 曲线 $S_{2d-2}$ 上，我们研究了当节点 $x_j$ 碰撞以及节点逃逸至无穷远时振幅 $a_j$ 的行为。我们讨论了当右侧 $\mu$ 变化时 Prony 簇的行为，以及该问题与 J. Mather 在 [23] 中关于线性系统族解的光滑性结果的可能联系。