Prony映射的几何与奇点

Prony映射提供了Prony方程组$$\Sigma_{i=1}^{n}A_{i}x_{i}^{k}=m_{k},\ k=0,1,...,2n-1$$的全局解。该方程组出现在信号重建中众多理论与应用问题中。最简单的例子是从“矩测量”$m_{k}=\int x^{k}g(x)dx$ 重建形如 $g(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\delta(x-x_{i})$ 的 $\delta$ 函数线性组合，其中参数 $a_{i},\ x_{i},\ i=1,...,n$ 未知。Prony系统的全局解，即Prony映射的反演，会遇到几种类型的奇点。其中最重要的一种是某些点 $x_{i}$ 的碰撞。对这种奇点的研究始于 \cite{yom2009Singularities}，其中展示了有限差分的作用。在本文中，我们研究了Prony映射的这种及其他类型的奇点，并描述了其全局几何。我们特别展示了Prony映射与“Vieta映射”（通过多项式的根表达其系数）、以及V. Arnold研究的双曲多项式和“Vandermonde映射”之间的密切联系。