一类无附加奇异性的受限射线变换的重建算法

设 $X$ 和 $X^*$ 分别表示沿曲线的受限射线变换和相应的反投影算子。从数据 $Xf$ 重建的理论分析通常基于对复合算子 $X^* D X$ 的研究，其中 $D$ 是某个局部算子（通常为导数）。若 $X^*$ 选择适当，则 $X^* D X$ 是一个具有奇异符号的傅里叶积分算子（FIO）。符号的奇异性导致伪影（附加奇异性）的出现，其强度可能与原始（或有用）奇异性一样强。通过特殊方式选择 $D$ 可以减弱附加奇异性的强度，但无法完全消除它们。本文中我们遵循类似方法，但做了两处改变。首先，我们用一个非局部算子 $\tilde D$ 替换 $D$，该算子在数据空间中沿一条曲线对 $Xf$ 积分。结果 $\tilde D Xf$ 类似于 $f$ 的广义 Radon 变换 $R$。函数 $\tilde D Xf$ 定义在对 $(x_0,\Theta)\in U\times S^2$ 上，其中 $U\subset\mathbb R^3$ 是包含 $f$ 的支撑集的开集，且 $S^2$ 是 $\mathbb R^3$ 中的单位球面。其次，我们用反投影算子 $R^*$ 替换 $X^*$，该算子关于 $\Theta$ 在 $S^2$ 上积分。结果表明，若 $\tilde D$ 和 $R^*$ 选择适当，则复合算子 $R^* \tilde D X$ 是一个零阶椭圆伪微分算子，其主符号为 1。因此，我们得到了一个近似重建公式，它能正确恢复所有奇异性且不产生伪影。我们方法的优势在于通过插入 $\tilde D$ 我们获得了频率变量 $\Theta$。特别地，我们可以在 $R^*$ 中加入合适的截断以消除导致附加奇异性的坏方向 $\Theta$。