二值图像带限离散傅里叶变换的反演：唯一性与算法

离散傅里叶变换（DFT）的常规反演要求已知所有DFT系数。当光栅化图像（表示为矩阵）的DFT系数仅已知于通带内时，原始矩阵无法唯一恢复。在许多实际重要的情形中，矩阵是二值的，其元素可归约为0或1。例如常用的QR码便是这种情况。矩阵为二值这一先验信息可补偿缺失的高频DFT系数并恢复图像恢复的唯一性。本文从理论与数值两方面探讨了利用二值性约束恢复高频DFT系数已不可逆丢失且无任何已知结构的模糊图像的问题。我们从理论上研究了仍可能唯一恢复一般二值矩阵的最小带限。对尺寸为$N_1 \times N_2$、$N_1 \times N_1$及$N_1^\alpha\times N_1^\alpha$的图像证明了唯一性结果，其中$N_1 \neq N_2$为素数且$\alpha>1$为整数。提出了由带限（模糊）版本恢复矩阵的反演算法。算法将整数线性规划方法与格基规约技术相结合，显著优于朴素实现。该算法高效且可靠地重建了仅有$11\times 11 = 121$个DFT系数的严重模糊的$29 \times 29$二值矩阵。