截断锥束投影的感兴趣区域重建

感兴趣区域 (ROI) 断层成像旨在仅使用与感兴趣区域 $C$ 相交的 X 射线投影来重建物体内部的该区域 $C$，其目标是在仅需检查物体的一小部分特定区域时减少总体辐射暴露。我们考虑从位于 $\mathbb{R}^3$ 中一条光滑曲线 $\Gamma$ 上的源进行 X 射线采集，该曲线满足经典的 Tuy 条件。在此情况下，光滑密度 $f$ 的{\it 非截断}锥束变换 $D f$ 存在显式逆 $Z$；然而，$Z$ 不能直接从 ROI 截断投影重建 $f$。为解决 ROI 断层成像问题，我们引入了一种新颖的重建方法。对于有界球 $B \subset \mathbb{R}^3$ 中的 $L^{\infty}(B)$ 密度 $f$，我们的方法迭代一个算子 $U$，该算子结合了 ROI 截断投影、通过算子 $Z$ 进行的反演以及适当的正则化算子。假设仅已知对应于球形 ROI $C \subset B$ 的投影，给定 $\epsilon >0$，我们证明，如果 $C$ 足够大，我们的迭代重建算法会一致收敛到 $f$ 的一个 $\epsilon$ 精确近似，其中精度取决于在 Sobolev 范数 $W^5(B)$ 中量化的 $f$ 的正则性。这一结果表明存在一个临界 ROI 半径，确保 ROI 重建算法收敛到 $f$ 的 $\epsilon$ 精确近似。我们使用多种采集几何下的 ROI 截断锥束投影数据的模拟采集，对这些理论结果进行了数值验证。数值实验表明，相对于支撑区域 $B$，临界 ROI 半径相当小。