关于亏格零的代数曲线 A(x)-B(y)=0

利用涉及 Riemann 曲面 orbifold 的几何方法，我们给出形如 $E_{A,B}:\, A(x)-B(y)=0$ 的不可约代数曲线亏格的下界，其中 $A, B\in\mathbb C(z)$。我们也研究亏格零的曲线 $E_{A,B}$ 的“序列”，所谓序列是指具有“相同” $A$ 的族。我们证明对于给定的有理函数 $A$，存在有理函数序列 $B_i$，使得 ${\rm deg}\, B_i \rightarrow \infty$ 且所有曲线 $A(x)-B_i(y)=0$ 不可约并具有亏格零，当且仅当域扩张 $\mathbb C(z)/\mathbb C(A)$ 的 Galois 闭包 亏格为零或一。