关于具有非局部漂移的输运方程

在 \cite{CordobaCordobaFontelos05} 中，C\'ordoba、C\'ordoba 和 Fontelos 证明了对于某些初始数据，以下一维 Burgers 方程的非局部漂移变体不存在全局经典解 $$\partial_t \theta +u \; \partial_x \theta = 0, \qquad u = H \theta,$$ 其中 $H$ 是 Hilbert 变换。我们提供了这一事实的四种本质不同的证明。此外，我们研究了该方程可能的 H"older 正则化效应及其对含扩散方程的后果 $$\partial_t \theta + u \; \partial_x \theta + \Lambda^\gamma \theta = 0, \qquad u = H \theta,$$ 其中 $\Lambda = (-\Delta)^{1/2}$，且 $1/2 \leq \gamma <1$。我们的结果也适用于速度场为 $u = \Lambda^s H \theta$ 的模型，其中 $s \in (-1,1)$。我们猜想，由消失粘性近似极限产生的解在所有正时间内均在 $C^{(s+1)/2}$ 类中是有界的。