关于Lehrer和Zhang的一个定理

设 $K$ 为特征不等于2的任意域。设 $m, n\in\N$ 且 $V$ 为 $K$ 上的 $m$ 维正交空间。Brauer代数 $\bb_n(m)$ 对 $n$-张量空间 $V^{\otimes n}$ 有一个右作用，该作用与正交群 $O(V)$ 的左作用交换。最近，G.I. Lehrer和R.B. Zhang定义了 $\bb_n(m)$ 中的某些拟幂等元 $E_i$（见(\ref{keydfn})），并证明了如果 $\ch K=0$ 或 $\ch K>2(m+1)$，则 $\bb_n(m)$ 中 $V^{\otimes n}$ 的零化子总是等于由 $E_{[(m+1)/2]}$ 生成的双边理想。在本文中，我们将该定理推广到了满足 $\ch K\neq 2$ 的任意域 $K$，正如Lehrer和Zhang所猜想的那样。作为副产品，我们发现了一个组合恒等式，它将不同大小的对称群上的Specht模的维度联系起来，并且为 $\bb_{m+1}(m)$ 中 $V^{\otimes m+1}$ 的零化子发现了一个新的整基。